57 Chuyên đề học sinh giỏi – Phần 2: Hệ phương trình – Đề Thi Mẫu mới nhất

Bạn đang xem trước

20 trang mẫu

tài liệu Chuyên đề học sinh giỏi – Phần 2: Hệ phương trình, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 14 PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ Ví dụ 1: Giải HPT : 2 22 22 ( ) 3 (1)( ) 10 (2)y x y xx x y y − =+ =Giải : + Nếu x=0 thì y=0 +Nếu y=0 thì x=0 +Nếu 0xy ≠ chia từng vế của PT(1) cho PT(2) ta cĩ : ( )2 22 22 2 2 2 2 2 4 2 2 42 2 2 242 ( ) 3 20 ( ) 3 ( ) 3 17 20 0 5103 =− = ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔+ =x yy x y x y x y x x y x x y yyx x y x y-Nếu 2 24x y= hệ đã cho trở thành : 2 332 42 .3 3 2 2; 122; 12.5 10 2 2y x x y x x yy xx yxyx y y y = = = = =  ⇔ ⇔ ⇔   = − = −== =   -Nếu 2 253x y= hệ đã cho trở thành : 4233 44 42415 1352 ;2. 3 4 9 24 9 2 13538 4 15 16 135 15 135. 10 ;3 22 135x yy y x y xy xxy yx y y x y= ==   = =  ⇔ ⇔ ⇔   = = =  = − = − KL : Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm Ví dụ 2 : Giải HPT : 42 25 6 (1)5 6 (2)x yx y x + =+ = (Chọn ðT ðồng Nai) Giải : Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta cĩ : ( ) ( )4 2 2 2 25( ) 0 ( ) 5 0 ( ) 5x yx x y y x x y x x yx x y=− + − = ⇔ − + − = ⇔ + =-Nếu x=y thế vào (1) ta cĩ :  ( )( )( )4 2 25 6 0 3 2 1 0 1xx x x x x xx= −+ − = ⇔ − + + − = ⇔ =Với x=-2 thì y=-2 Với x=1 thì y=1 -Nếu ( )2 255x x y y xx+ = ⇒ = − thế vào (1) ta cĩ : Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 15 ( )4 6 3 2255 6 5 6 25 0 *x x x x xx + − = ⇔ − − + =  Từ (1) ta cĩ : 2 2 65 6 65x x y x= − ≤ ⇒ ≤ Do đĩ : 3 23 2 6 3 26 65 6 5 6 25 5 6 25 05 5x x x x x   + ≤ +        nên (*) vơ nghiệm KL : (x ;y)=(-2 ;-2) ; (1 ;1). Ví dụ 3 : Giải HPT : 2 21 1 (1)2 0 (2)x x yy x y x y x− − − =+ + − = (HSG tỉnh Quảng Bình) Giải : ðK : 0; 1 0x x y≥ − − ≥ Ta cĩ : ( )( )221 1 1 1 1 2 10 002 14( 1) 2 4 2 2x x y x x y x yy yyy x yy x y y x y x⇔ = − − + ⇔ = − − + + − −≥ ≥≥   ⇔ = − − ⇔ ⇔ ⇔  = − − + = + = PT (2) 2 22 0y x y x y x⇔ + + − = ( )2 2y x xy y x y x⇔ + = ⇔ + = Ta cĩ 212 2 ; 12 22 242 2 ( 2) 2 0 4; 2y x x yy xy xy y y y y yy x y x x y + = = = −+ =+ =   ⇔ ⇔ ⇔   + + = +− − =+ =    = =Ví dụ 4 : Giải HPT : 2 222 3 4 9 (1)7 6 2 9 (2)x y xy x yy x x + = ++ = + (Chọn ðT Nha Trang) Giải : Nếu 22 3 9 0x x+ − = khơng thoả mãn PT(1) nên ( )22412 3 9xyx x⇔ =+ −PT(2)22 9 67x xy + −⇔ = Do đĩ ta cĩ PT : Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 16 ( )( )( )( )( )2 22 2 2224 2 9 6 28 2 9 6 2 3 92 3 9 72 12 2 1 2 9 27 0 29 3 334x x xx x x x xx xxx x x x xx+ −= ⇔ = + − + −+ − = −⇔ + − + − = ⇔ =− ±=-Với 1627x y= − ⇒ = − -Với 1 12 7x y= ⇒ = − -Với 229 3 33 2 9 62 9 27 0 34 7x xx x x y− ± + −= ⇒ + − = ⇒ = = Ví dụ 5 :Giải hệ phương trình : 1 2 73 17 24 7121 1 27 24xy xyy x  + =  −   − − = − Giải : ðiều kiện x > 0, y > 0. Hệ đã cho tương đương 1 11 2 1 (1)17 24 21 21211 2 1 1 11 (2)7 24 21 7 24 21 21y x x yxy x y y x x y= ++ = − − ⇔  − = = − −− −− Nhân theo vế (1) và (2) ta cĩ 1 1 17 24 21 21y x x y= +−2 221 ( )(7 24 ) 24 38 7 0(6 )(4 7 ) 0xy x y y x x xy yx y x y⇔ = + − ⇔ − − =⇔ − + =47xy −⇔ = ( vì x > 0, y > 0) Thay vào (1) ta cĩ 1 = 1 121 12x x+ 2 7 11 4 7842 21x x+ +⇔ = ⇔ =. Suy ra y = 11 4 7147− −. Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 17 PHƯƠNG PHÁP 2: ðẶT ẨN PHỤ Ví dụ 6 : Giải HPT : 2 23 3 361 19y xy xx y x + = −+ =ðây là hệ pt thường gặp trong các kì thi HSG, TSðH Giải : +y=0 khơng thoản mãn hệ + 0y ≠ Ta cĩ hệ tương đương với 2 22 3 3331 16 61 1 119 3 19x xx xy y y yx x xx x xy y y y y y    + = − + = −        ⇔         + = + − + =                ðặt 1 ty= hệ trở thành : 2 23 3 36( ) 3 ( ) 19x t x tx t xt x t x t + = −+ − + =ðặt 2( 4 )S x t S PP xt= +≥= hệ trở thành : 23 363 19S PS SP P = −− =Thay (1) vào (2) ta cĩ : 3 6 3 3 3 6 306 18 19 6 0 16PP P P P PP=− + = ⇔ + = ⇔ = −-Với P=0 thì S=0 (loại) Với 11 1 616 66x tP Sxt+ == − ⇒ = ⇒ = −Ví dụ 7 : Giải HPT : 22712xy y x yxxy + + =+ = (HSG ðiện Biên) Giải : ðK : 0y ≠ Hệ đã cho tương đương : 7( ) 12xx yyxx yy+ + = + =Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 18 ðặt u x yxvy= += hệ đã cho trở thành : 7 3; 412 4; 3u v u vuv u v+ = = = ⇔ = = = -với 43 334 1x yu xxv yy+ == = ⇒ ⇔  == = -Với 1234 543 35x y xuxv yy+ = ==  ⇒ ⇔  ==  = Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm (x ;y)=(3 ;1), 12 3;5 5   Ví dụ 8: Giải hệ : 3 32 2(27 35) 8 03 2 5y xx y x y − + =+ = (HSG Phú Thọ V1 năm 2011-2012) Giải : Hệ đã cho tương đương với : 33827 3523 5xyxxy y+ =  + =   ðặt 32u xvy== hệ trở thành 3 3 3; 2352; 3( ) 5u vu vu vuv u v= = + = ⇔ = =+ = -Với 3 33 12 22 1xu xv yy== = ⇒ ⇔  == = -Với 23 22 32 33 23x xuv yy= ==  ⇒ ⇔  ==  = Vậy hệ cĩ nghiệm ( ) ( ) 2 2; 1;1 ; ;3 3x y  =   Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 19 Ví dụ 9 : Giải hệ 1 3 312 8x x yyx yy+ + + − = + + =ðk : 1 0; 3; 0x x y yy+ ≥ + ≥ ≠ ðặt 1 ; 3;, 0a x b x y a by= + = + − ≥ Hệ đã cho trở thành 2 23 2; 11; 25a b a ba ba b+ = = = ⇔ = =+ = -Với 21ab== ta cĩ 241 1 12 4 3; 148 15 04 5; 143 1 43 1xx x x yxy y x xxx yy xx y y xx y ≠ + = + = = =+ =  ⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔−    = = −   = −+ − = = −+ − =  -Với 12ab==ta cĩ 271 1 11 1 4 10; 3 1018 6 074 10; 3 1073 4 43 2xx x x yxy y x xxx yy xx y y xx y ≠  + = + = = − = ++ =  ⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔−    = + = −    = −+ − = = −+ − =  KL : Vậy hệ đã cho cĩ 4 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10x y = − − + + − Ví dụ 10 : Giải hệ phương trình: 7 2 52 1x y x yx y x y + + + =+ + − =Giải : ðiều kiện: 7 0; 2 0x y x y+ ≥ + ≥. ðặt ( )7, 2, , 0u x y v x y u v= + = + ≥, ta cĩ: 2 2 2 27 2;5 5u v v ux y− −= =. Ta cĩ hệ: 5 52 2 2 27 2 2 5 14 015 5u v u vu v v u v vv   + == −⇔− − + − =+ − =53227u vuvvv      = −==⇔ ⇔== −Với 3; 2u v= = ta cĩ: 1; 2x y= =. Vậy 1; 2x y= =. Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 20 Thay đổi phương trình thứ hai ta cĩ đề thi HSGQG năm 2001 Ví dụ 11 : Giải HPT : 7 2 52 2x y x yx y x y + + + =+ + − = (HSGQG 2001) Giải : ðK : 7 0;2 0x y x y+ ≥ + ≥ Cách 1 : Tương tự ví dụ trên ta cĩ 5 52 2 2 27 2 2 5 13 025 555 7725 772u v u vu v v u v vvu vvv   + == −⇔− − + − =+ − == −− +=⇔ − − =Do ; 0u v ≥ ta lấy được 15 7725 772uv−=− +=Từ đĩ giải được 11 7710 77;2x y −= − = Cách 2: ðặt t y x y x t= − ⇒ = + ta cĩ HPT : ( )( )( ) ( )222 2 22 37 38 32 23 29 1 03 8 3 3 8 2 9 7722 32 3tx y tx t tx y tx t tt tt t t tttt− ≤ ≤ + = − ⇔ + = − + = + + = +  + + =− = − − + − +⇔ ⇔ ⇔ = − ≤ ≤− ≤ ≤ ( )22 10 77311 772t txy x t + −= = −⇒ −= + =Cách 3 : ðặt 7 ;(, 0)2u x yu vv x y = + ≥= +. Hệ trở thành : 52u vv y x+ == + −Mặt khác : ( )( )2 2 55 525 122 2xu v x u v u v x u v x vx xy x y−− = ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ =− +⇒ = + − ⇒ = thay vào hệ ta được : Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 21 ( )2 25 51 522 2 20 23 010 2 511 7710 772x xx xxx xx xx y≤ ≤+ − + = ⇔ ⇔ − + =+ = − −⇔ = − ⇒ =Tương tự ta cĩ Ví dụ 12 : Giải hệ phương trình : 3 21x y x yx y x y + + + =+ + − =(ðề thi HSG Quảng NINH năm 2011-2012) ðS : ( ) 5 21; 5 21;2x y −= −   Ví dụ 13: Giải Hệ phương trình : 4 2 22 1x y x yx y x y + + + =+ + + =( ðề thi HSG Nam ðịnh V2 năm 2011-2012) Giải : ðK : 4 ;2x y x y≥ − ≥ − ðặt ( )4 ; 0; 02a x ya bb x y = + ≥ ≥= +Ta cĩ hệ 2 (1)1 (2)a bb x y+ =+ + =Ta cĩ : ( )( )2 2 2 2( )a b x a b a b a b a b x− = = − + = − ⇒ − = Ta cĩ 2 2 (3)2a b xba b x+ = −⇒ =− =Thay (3) vào (2) ta cĩ : 2 1 22xx y x y− + + = ⇔ = − thay vào phương trình hai của hệ ban đầu ta cĩ ( )2 23 2 1 3 11 1 5 21 5 2125 1 03 1y y y y yy yy xy yy y− − + = ⇔ − = +≥ − ≥ −− +⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ = − + + =− = + Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) 5 21; 5 21;2x y − += −   Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 22 PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ 14: Giải hệ 4 2 43 34 2 52 2xy xx yy xx y− + − + =+ = +Giải: Xét hàm số 3( ) 2tf t t= + trên ℝ -Ta cĩ 2'( ) 2 ln 2 3 0,tf t t t= + > ∀ ∈ℝ nên ( )f t đồng biến trên ℝ ( )2 ( ) ( )f x f y x y⇔ = ⇔ = Thay vào (1) ta cĩ ( ) ( )2224 2 44 2 422 4 4 4 24 2 55 4 22 8 5 4 8 4 3 0 1 2 3 0 1x xx xx xx xx xx x x x x x x x− +− +− +− + =⇔ − + =≥ ⇒ − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ =Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = Ví dụ 15: Giải hệ 3 3 223 4 21 2 1y y x x xx y y + = + + +− − = − −ðK: 1 1;0 2x y− ≤ ≤ ≤ ≤ ( ) ( ) ( )331 1 1y y x x⇔ + = + + + Xét hàm số 3( )f t t t= + trên ℝ -Ta cĩ 2'( ) 3 1 0,f t t t= + > ∀ ∈ℝ nên ( )f t đồng biến trên ℝ ( )1 ( ) ( 1) 1f y f x y x⇔ = + ⇔ = + thay vào (2) ta được phương trình 221 1 1 11 1 1 1x x xx x x− − + = − −⇔ − = + + − −ðặt ẩn phụ giải được nghiệm của phương trình này là 0=x Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ); (0;1)=x y Tương tự ta cĩ đề thi HSG Quảng Ninh Bảng B năm 2011-2012: Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( ) ( )3 2 32 2 21 3 1 31 3 2 2 0x x y yx x y y + − + = −+ − − − + =ðáp số: ( ) ( ); 0;1x y = Ví dụ 17: Giải hệ ( ) ( )32 2 1 2 1 2 3 24 2 2 4 6x x y yx y + + + = − −+ + + =( ðT Chuyên Lương Thế Vinh, ðồng Nai) Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 23 Giải: ðK: 1 ; 22x y≥ − ≥ Xét hàm số 3( ) 2f t t t= + trên ( )0;+∞ -Ta cĩ ( )2'( ) 6 1 0, 0;f t t t= + > ∀ ∈ +∞ nên ( )f t đồng biến trên ( )0;+∞ ( )1 (2 1) ( 2) 2 1 2f x f y x y⇔ + = − ⇔ + = − thay vào (2) ta được phương trình 4 4 8 2 4 6 (*)y y− + + = Xét hàm số 4( ) 4 8 2 4 6 g y y y= − + + − trên ( )2;+∞ -Ta cĩ ( ) ( )341 1'( ) 0; 2;2 44 8g y yyy= + > ∀ ∈ +∞+− nên ( )f t đồng biến trên ( )2;+∞ Mà ( )6 0g = nên phương trình (*) cĩ nghiệm duy nhất y=6. Từ đĩ cĩ 12x = Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) 1; ;62x y  =   Ví dụ 18: Giải hệ phương trình: ( )2332 2 ( ) (2 ) 2, .2( 1) 1 0x y x y x y x y x y x yx yy x− +− = + + − − −∈− − + =ℝ (HSG Thanh Hĩa 2011-2012) Giải: 2332 2 ( ) (2 ) 2 (1)2( 1) 1 0 (2).x y x y x y x y x y x yy x− +− = + + − − −− − + =+ ðiều kiện: 0, 2 0x y x y+ ≥ − ≥ (*). + Khi đĩ: 2(1) 2 (2 ) 2 2 ( )x y x yx y x y x y x y− +⇔ + − − = + + +. Xét hàm ( ) 2tf t t t= +, suy ra: (1) cĩ dạng (2 ) ( )f x y f x y− = +. Mặt khác ( )f t đồng biến, do đĩ (1) 2x y x y⇔ − = + hay 2x y=. + Thế vào (2), ta được: 33 1 2(2 1)y y+ = − (3). ðặt 3 2 1y t= −, phương trình (3) trở thành hệ: 33(2 1)(2 1)t yy t = −= −Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được: ( )2 2do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,t y y y t t y t= − + − − + − + > ∀ Thế vào hệ: 3(2 1)y y= − 3 28 12 5 1 0y y y⇔ − + − = 2( 1)(8 4 1) 0y y y⇔ − − + = 1y⇔ =. 1 2y x= ⇒ =, thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1)x y =. Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 24 Với phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm sơ chúng ta thấy thường xuất hiện hệ phương trình hệ hốn vị vịng quanh HỆ HỐN VỊ VỊNG QUANH: ðịnh nghĩa:Là hệ cĩ dạng: ( ) ( )1 2( ) ( )2 3.................( ) ( )1f x g xf x g xf x g xn=== (I) ðịnh lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và (, ,..., )1 2x x xn là nghiệm của hệ trên A thì ...1 2x x xn= = = ðịnh lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và (, ,..., )1 2x x xn là nghiệm của hệ trên A thì ...1 2x x xn= = = nếu n lẻ và ...1 3 1...2 4x x xnx x xn= = =−= = =nếu n chẵn Ví dụ 19 : Giải hệ:222111x y yy z zz x x = + −= + −= + −Xét hàm số: 2( ) 1f x x x= + −, hàm số này đồng biết trên 1 ,2 − +∞  , nghịch biến trên khoảng 1,2 −∞ −  . Dễ thấy 1 5 5 11( ), 2 4 4 6f x f f   ≥ − = − − = −      . Ta cĩ hệ phương trình sau: ( )( )( )x f yy f zz f x===Từ hệ ta suy ra 5, ,4x y z ≥ − - Nếu 1 1 5 1 1 ( ) 2 2 4 2 2x f y f y ≥ − ⇒ ≥ − > − = − ⇒ > −   (vì nếu 12y ≤ − thì từ điều kiện 5 5 11 5 ( )4 4 6 4y f y f  ≥ − ⇒ ≤ − = −  ∀ nên ( )f t là HSðB trên ℝ Nếu 3 3( ) ( ) 2 3 2 3x y f x f y y z y z≥ ⇒ ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ 3 3( ) ( ) 2 3 2 3f y f z z x z x x y z x x y z⇒ ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ ≥ ⇒ ≥ ≥ ≥ ⇒ = = Tương tự nếu x y x y z x x y z≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ⇒ = = Vậy x y z= = thay vào ta cĩ pt 3 2132 2 3 3 0232xx x x xx =− − + = ⇔ == −vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3; ; 1;1;1 ; ; ; ; ; ;2 2 2 2 2 2x y z   = − − −         Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 26 PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ BẰNG BẤT ðẲNG THỨC Ví dụ 21: Giải hệ phương trình: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3)4x x y y x yy x xy + − + + − = + ++ =(HSG lĩp 10 Vĩnh Phúc năm 2011-2012) Giải: (2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)4 (2)x x y y x yy x xy + − + + − = + ++ =ðiều kiện xác định: 1 1;4 4x y≥ ≥ (2) (4 1) 4 1 4 1x yx y x x yy x⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − thay vào (1) ta được : (2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)x yx y x yy x+ + + = + + Do (2 3) (2 3) 2 (2 3)(2 3)x yx y x xy x+ + + ≥ + + Suy ra (1) (2 3) (2 3) ( )(2 2 3) 0x x y y x y x y⇔ + = + ⇔ − + + = x y⇔ = thay vào (2) ta được 20 ( )2 0 1 12 2xx xx y=− = ⇔ = ⇒ =lo¹ iVậy hệ phương trình cĩ nghiệm 1 1;2 2   . Ví dụ 22: Giải hệ phương trình: ( )( ) ( )2 4 2 5 2 22 2 3 29 8 16 3 11 16 _ 2 5x y x y y y x yx y x y x y + − = − + + − = − + (HSG ðồng Tháp V2 năm 2011-2012) Giải: ðK: 2 4 29 8 0x y x y+ − ≥ Hệ tương đương với ( )( )22 6 2 32 2 3 425 4 16 31 16 2 5x y y x y yx y x y x y− − = − + + + − = − +Trừ vế với vế của 2 phương trình trên ta cĩ ( ) ( ) ( )2 222 2 225 4 1 16 2 4 (*)x y x y x y− − = + + − + − Ta cĩ (*) 5; (*) 5VT VP≤ ≥ Do đĩ 22 34 02(*) 2 014 0x yxx yyx y − ==⇔ − = ⇔ =− =Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 27 Vậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ); (2;1)x y = Ví dụ 23 : Giải hệ phương trình =+−−++=+0443816982224yxxyyxyxGiải hệ phương trình =+−−++=+0443816972224yxxyyxyxTừ phương trình (2) ta cĩ: 044)3(0443 2222 =+−+−+⇔=+−−++ yyyxxyxxyyx Phương trình này cĩ nghiệm 3710)44(4)3( 22≤≤⇔≥+−−−=∆⇔yyyyLập luận tương tự ta cĩ: 340 ≤≤ x Kết hợp với pt 1 ta cĩ 8169724 ≤+ yx Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==3734yxVậy hệ pt đã cho cĩ nghiệm duy nhất ==3734yxVí dụ 24 : Giải hệ phương trình: 222, (0 1).x y ay z a az x a = += +  ≥ ≥ ⇒ = + ≥ + = ⇒ ≤ 1 12 4x y z a⇒ = = = − − + Vậy hệ phương trình cĩ 2 nghiệm. Ví dụ 25: Giải hệ phương trình sau ẩn x; y:2 3 22 2 23 4 2 02 0x y x xx y x y + − + =− + =Giải:: Hệ đã cho tương đương với:3 22 2 2( 3) 4 2 0 (1)2 0 (2)y x xy x x y + − + =− + =Nếu y3 +3= 0 thì x=2 khơng thỏa mãn hệ. Nếu y3 +3 ≠ 0 : (1) cĩ nghiệm ⇔ ,∆ ≥ 0 ⇔ 1y ≤ − Nếu y = 0 thì x=0 khơng thỏa mãn. Nếu y ≠ 0: (2) cĩ nghiệm ⇔ 1 1y− ≤ ≤ Từ đĩ suy ra y = -1. thay vào được x = 1. Thử lại: x=1; y=-1 thỏa mãn. Vây hệ đã cho cĩ nghiệm: 11xy== −Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 29 Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải HPT : ( )2 22 21 1 2 (1)21 1 (2)2x yx yy xx y+ = +− = − (HSG tỉnh Quảng Ninh) Giải : ðK : 0xy ≠ Cộng vế với vế của (1) và (2) ta cĩ : 2 2 3 22 3 2 3x y x xyx= + ⇔ = + Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta cĩ : 2 2 2 31 3 1 3x y x y yy= + ⇔ = + Ta cĩ hệ ( )( )333 2 33 2 3 33 132 3 3 211 3 3 112xx yx xy x yx yy x y x y y += = + = + + =   ⇔ ⇔ ⇔   − == +  −= −    =Tương tự, giải hệ ( )( ) ( )4 42 2 2 21 1 221 1 3 32y xx yx y x yx y− = − + = + +Bài 2 : Giải hệ phương trình 3 22 23 49 (1)8 8 17 (2)x xyx xy y y x + = −− + = − (HSGQG bảng B năm 2004) Giải: Cách 1: Ta thấy x=0 khơng thỏa mãn hệ ( )32 491 (*)3xyx+⇒ = − Thế vào (2) ta được 32 2 3 22 2498 8 17 24 ( ) 2 51 493124 ( 1) ( 1)(2 49 49) 2 49 4924+− − = − ⇔ + = + −= −⇔ + = + + − ⇔ + −=xx xy y x y x x x xxxxy x x x x x xyx- Với x=-1 thế vào (*) ta được 4y = ± - Với 22 49 4924x xyx+ −= thế vào (*) ta được Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 30 ( ) ( )3 22 3 2 224 3 2 249 2 49 49 =( ) 192 ( 49) (2 49 49)3 244 4 45 94 49 0 1 4 4 49 0 1+ + −− ⇔ − + = + −⇔ + + + + = ⇔ + − + = ⇔ = −x x xx x x xx xx x x x x x x xVậy hệ đã cho cĩ nghiệm ( ) ( ) ( ); 1;4 ; 1; 4x y = − − − Cách 2: Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với (1) ta được: ( ) ( )3 2 2 23 2 22 23 3 24 3 24 51 493 3 1 3 ( 1) 24 ( 1) 48( 1) 01 1 3 24 48 01x x xy xy y y xx x x y x y x xx x y yx+ + − + = − −⇔ + + + + + − + + + = ⇔ + + + − + = ⇔ = −Cách 3: đặt 22u vxx y ux y v u vy+=+ = ⇔ − = − =Từ hệ đã cho ta cĩ hệ phương trình 3 3 3 32 2 2 298 27 125 (1)3 5 9 25 3 9 5 25 (2)u v u vu v u v u u v v + = − − = − − ⇔ − + = − − − + = − −  Nhân 2 vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với phương trình (1) ta cĩ: ( ) ( )3 33 5 2u v u v− = − + ⇔ = − − thế vào (1) ta được 2 32 15 0 5vv vv=+ − = ⇔ = −-Với ( ) ( )3; 5 ; 1; 4v u x y= = − ⇒ = − − -Với ( ) ( )5; 3 ; 1;4v u x y= − = ⇒ = − Bài 3: Giải hệ phương trình : 2 22 21 1 (1)1 (2)x x y yx y xy + + = + −+ − = (HSG Hải Dương V1 năm 2011-2012) Giải: ðK: 1y ≥ ( )( )( )( )( )2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 21 1 12 2 1 11 1 11x y y xx xy y y x y xxy y x x y x y x yx y⇔ − = − − +⇒ − + = + − − +⇔ = − + ⇔ = − + −⇔ − = −- Ta cĩ hệ 2 222 21 02 021x y xx xyy xx y xy − = − =⇒ − = ⇔ =+ − = - Nếu 0x = thay vào (2) ta cĩ 2 1 1y y= ⇔ = ± Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 31 - Nếu 2y x= thay vào (2) ta cĩ 2 2 1 1 23 13 3 3x x x y= ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ± - Thử lại ta cĩ nghiệm ( ) ( ) 1 2; 0;1 ; ;3 3x y  =   Bài 4 :Giải HPT: 3 32 235 (1)2 3 4 9 (2)x yx y x y − =+ = − (HSG Yên Bái) Giải: ( ) ( ) ( )2 22 6 12 8 9 12 27 35x x y y⇔ − + + + + = Thay vào (1) ta cĩ ( ) ( )( ) ( )3 3 2 23 36 12 8 9 12 272 3 2 3 5x y x x y yx y x y x y− = − + + + +⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = +Thế vào (2) : 2 25 25 30 03yy yy= −+ + = ⇔ = −-Với y=-3 thì x=2 -Với y=-2 thì x=3 Bài 5: Giải HPT: 4 3 3 2 23 39 9 (1)( ) 7 (2)x x y y y x x y xx y x + + = + +− =Giải: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4 3 3 2 221 9 09 0x xy x y x y x yx y x x y⇔ − + − − − = ⇔ − + − = Từ ( )2 x y⇒ ≠ Nên ( ) ( ) ( )21 9 *x x y⇔ + = Từ ( ) 3 3 337 72 y x y xx x⇔ − = ⇔ = + thế vào (*) ta cĩ 23 3 3 6 2 4 2337 9 2 7 ( 7)x x x x x x x x xx + + = ⇔ + + + +    (**) Tư (*) ta cĩ x>0 Xét hàm số ( )3 3 6 2 4 23( ) 2 7 ( 7), 0;f x x x x x x x x= + + + + ∈ +∞ F(x) ðB trên ( )0;+∞ mà f(1)=9 nên (**) cĩ nghiệm duy nhất x=1 Vậy hệ cĩ nghiệm (x;y)=(1;2). Bài 6: Giải HPT: 32 2 3 2 (1)6 1 4 (2)x y x yx y + = − −+ + − =Giải: ðK: 2 0; 1x y y+ ≥ ≤ Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 32 ( ) ( ) 2 11 2 2 2 3 0 1 22 3( )x yx y x y y xx y l + =⇔ + + + − = ⇔ ⇔ = − + = −Thay vào (2) ta cĩ: 3 6 2 4(*)x x+ + = Xét hàm số ( ) [ )3 6 2, 0;f x x x x= + + ∈ +∞  Ta cĩ f(x) là HSðB trên [ )0;+∞ mà f(2)=4 nên (*) cĩ nghiệm duy nhất x=2 Vậy hệ cĩ nghiệm (x;y)=(2;-3). Bài 7 : Giải HPT : 13 1 2 (1)17 1 4 2 (2)xx yyx y  + =  +   − =  +  (HSGQG 1996) Giải : ðK :, 0x y ≥ Vì x=0 hoặc y=0 khơng thoả mãn hệ nên hệ đã cho tương đương 1 2 1 2 21 1 (3)3 3 71 4 2 1 1 2 21 (4)7 1 3 7x y x x yx y y x x y+ = = + + ⇔  − = = − + + Nhân vế với vế của (3) và (4) ta cĩ : ( )( )( )( )2 21 1 2 2 1 2 2 1 81 3 73 7 3 721 7 24 24 38 7 06 4 7 0 6, (, 0)x x yx y x yxy x y y x x xy yx y x y y x x y  = + − = −    +   ⇔ = + − ⇔ + − =⇔ − + = ⇔ = >Thay y=6x vào (3) ta cĩ 1 2 11 4 7 22 8 7121 73 7x yx x+ += + ⇔ = ⇒ = Bài 8 : Giải hệ phương trình : 12 (1)15 (2)x yx yx y x yxy−− + =+ += −(HSG An Giang V 1 năm 2011-2012) Giải : ðK : ( )2 2202 0x yx y x yx y x yx y ≥− − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≠ −+ Chuyên đề học sinh giỏi Phạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 33 Hệ đã cho tương đương với : ( )2 2 12 (1)15 (2)x yx y x yx yxy−− + + =+= −Xét 2 trường hợp : • Nếu 0x y+ >. Khi đĩ ( ) 2 2 2 21 12x y x y⇔ − + − = ðặt 2 2 ; ( 0)t x y t= − ≥ phương trình trên trở thành 2 312 04( )tt tt l=+ − = ⇔ = −Với 3t = ta cĩ hệ 22 4 22 2 229 3 109225 29 9 225 09 9 3 10915 ( )1515 2159 3 109 3 109 9;2 29 3 109 3 109 9;2 2xx x xx y xx lxy yy xxyxx yx y += − = − − = − =   −⇔ ⇔ ⇔    == − = −    = −  = − + − = = −⇔+ −= − =Kết hợp ðK 0x y+ > ta thu được 9 3 109 3 109 9( ; ) ( ;