57 Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay – Toán lớp 12 mới nhất

Tóm tắt nội dung bài viết

  • Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay
  • Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay
  • I. Phương trình đường thẳng
  • II. Góc
  • III. Khoảng cách:
  • Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u→ = (a; b; c)
  • Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).
  • Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (d’ không vuông góc với (P)).
  • Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (Q) ).
  • Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

I. Phương trình đường thẳng

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm
và nhận vectơ Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình tham số là :

Bạn đang đọc: Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay – Toán lớp 12

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm và nhận vectơ Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12 sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó Δ có phương trình chính tắc là :

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12

Quảng cáo

II. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai đường thẳng d1 ; d2. Trong đó :

· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1→

· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2→

· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác lập bởi :
Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P ). Trong đó :

· Đường thẳng d có vecto chỉ phương u→

· Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là n→

· Gọi φ là góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng ( P ). Khi đó, ta có :
Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12

Quảng cáo

III. Khoảng cách:

1. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M0( x0; y0; z0) và có vecto chỉ phương u→.

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là :
Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2. Trong đó :

·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u1→

· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u2→

Xem Thêm  Thông tin thuốc Moritius 75mg: Tác dụng, liều dùng và giá bán

· Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là :
Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian cực hay - Toán lớp 12

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d biết d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u→ = (a; b; c)

1. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương u→ ( a; b; c) thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a. b. c ≠ 0 ) là :
Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)
* Chú ý :
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( α ) thì vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) vì d ⊥ ( α )
+ Nếu đường thẳng d / / ∆ thì đường thẳng d nhận vecto ud → = uΔ → làm vecto chỉ phương .

Quảng cáo

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A (2 ; 1 ; 5) và có vectơ chỉ phương u→=(1;1;2). Tìm mệnh đề đúng

A. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

B. Phương trình tham số của đường thẳng d: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

C. Phương trình tham số của đường thẳng d: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

D. Phương trình chính tắc của đường thẳng d: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Trong đó t là tham số

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn B.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của ∆ là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

B. Phương trình chính tắc của ∆ là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

C. Vậy phương trình tham số của ∆ là: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

D. Phương trình chính tắc của ∆ là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( α ) nên vectơ chỉ phương của ∆ là :

u∆→ = nα→ = (2; -1;1)

Vậy phương trình tham số của ∆ là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Phương trình chính tắc của ∆ là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn A .

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi qua A (1; 2; 3) và song song với (d’): Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng). Tìm mệnh đề sai

A. Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ ( -4; 4; 2)

B. Vậy phương trình tham số của d là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

C. Phương trình chính tắc của d là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: ud→ = ud’→ = ( 2; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Phương trình chính tắc của d là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn D.

Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

1. Phương pháp giải

Cách 1 :

+ Cả hai trường hợp đều suy ra ud→nP→ud→nQ→

Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là ud→⊥ [nP→; nQ→]

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d .

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto ud→⊥ [nP→; nQ→] làm vecto chỉ phương

Xem Thêm  1kg bằng bao nhiêu calo? Làm sao để kiểm soát tốt cân nặng?

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Xem thêm: Top 5 phần mềm kiểm tra đạo văn tốt nhất 2022

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau ( P ) và ( Q. ) thì với mỗi điểm
M ( x ; y ; z ) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình :
phương trình ( P ) và Phương trình ( Q. ) ( * )
Đặt x = t ( hoặc y = t hoặc z = t ) thay vào hệ ( * ) rồi rút y ; z theo t
Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ ( * )

Ta có hệ Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Vậy điểm Mo ( – 2 ; 0 ; 2 ) thuộc đường thẳng d .

Do uα→ ( 1;-3; 1); n’α→( 1; 1; -1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1;1;2)

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1; 1;2)

Vậy phương trình tham số của d là: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn C .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz).

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ( 1 ; 1 ; 2 )

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng ( Oyz ) có phương trình x = 0
Điểm M ( x ; y ; z ) ∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình :
Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Đặt z= t ta được: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng) là phương trình đường thẳng d

Chọn A.

Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ (d’ không vuông góc với (P)).

1. Phương pháp giải

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d ’ nên

Suy ra ud→nP→ud→ud’→

Mà d ’ không vuông góc với ( P )

Nên VTCP của d là ud→ = [nP→;ud’→]

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là nP→(1; 1; -1)

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: ud’→(1; 3; 2)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d ’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u → = [ nP → ; ud ‘ → ] = ( 5 ; – 3 ; 2 )
d đi qua điểm M ( 1 ; 2 ; – 1 )

Vậy phương trình đường thẳng d là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là nOxy→(0; 0; 1)

Xem Thêm  Sữa ong chúa Úc Healthy Care Royal Jelly 1000mg

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là ud’→(1; -2; 1)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng ( Oxy ) và vuông góc với đường thẳng d ’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u → = [ ud ‘ → ; nOxy → ] = ( 2 ; 1 ; 0 )
d đi qua điểm M ( 0 ; 1 ; 2 )

Vậy phương trình đường thẳng d là Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn C .

Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d đi qua một điểm M; nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ (hoặc song song với mặt phẳng (Q) ).

1. Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u∆→

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): nP→; nQ→

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

u→ = [u∆→; nP→] hoặc [nP→; nQ→]

+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→

=> phương trình đường thẳng d :

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng) và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆?

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng ∆ có vecto chỉ phương u∆→( 1; 2; -1)

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến n→( 1; -2; 3).

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

u→ = [u∆→; n→] = ( 4; – 4; – 4) chọn ( 1; -1; -1) .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn B .

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ : Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng) và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:

Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Hướng dẫn giải:

+ Tìm giao điểm M của ∆ và mặt phẳng ( P ) :
Điểm M ( – 2 + t ; 2 + t ; – t ) thuộc ∆ .
Thay tọa độ M vào phương trình ( P ) ta được :
– 2 + t + 2 ( 2 + t ) – 3 ( – t ) + 4 = 0 ⇔ – 2 + t + 4 + 2 t + 3 t + 4 = 0
⇔ 6 t + 6 = 0 nên t = – 1 => M ( – 3 ; 1 ; 1 )

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến uP→( 1; 2;-3)

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u∆→( 1; 1; -1)

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u → = [ nP → ; u ∆ → ] = ( 1 ; – 2 ; – 1 )

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (1; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là: Bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (19 dạng)

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Xem thêm: Nước Úc Tiếng Anh Là Gì – Nước Úc Trong Tiếng Anh Là Gì

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp